Решение задач по теоретической механике — Динамика, уравнения Лагранжа для систем с одной степенью свободы

Дано

Вертикальный вал длиной 3a (AB=BD=DE=a), закрепленный подпятником A и подшипником D, вращается с постоянной угловой скоростью ω. К валу жестко прикреплен в точке Е ломаный однородный стержень массой m и длиной 10b, состоящий из двух частей 1 (l₁=6b) и 2 (l₂=4b), а в точке В прикреплен невесомый стержень длиной l=5b с точечной массой m₃ на конце, оба стержня лежат в одной плоскости. Определить реакции подпятника A и подшипника D, пренебрегая весом вала. Данные для расчета: ω=8с^-1, m=m₁+m₂=10кг, m₃=2кг, α=30^o, φ=60^o, a=0.3м, b=0.1м

Решение

1. Изображаем с учетом заданных углов вал и прикрепленные к нему стержни. Массы и веса частей 1 и 2 ломаного стержня пропорциональны длинам этих частей и соответственно равны: m₁=0.6m, m₂=0.4m :

P₁=0.6mg, P₂=0.4mg, P₃=m3g. (1)

2. Для определения искомых реакций рассмотрим движение заданной механической системы и применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом координатные оси Axy так, чтобы стержни лежали в плоскости xy, и изобразим действующие на систему силы: активные силы тяжести P₁, P₂, P₃ и реакции связей – составляющие реакции подпятника X_A,Y_A и реакцию цилиндрического подшипника R_D.

Согласно принципу Даламбера присоединим к этим силам силы инерции элементов однородного ломаного стержня и груза, считая его материальной точкой.

Так как вал вращается равномерно, то элементы стержня имеют только нормальные (центростремительные) ускорения a_nk, направленные к оси вращения и численно равные a_nk=ω²h_k, где h_k – расстояния элементов от оси вращения. Тогда силы инерции элементов Ф_k будут направлены от оси вращения, а численно Ф_k=Δm_ka_nk=Δm_kω²h_k, где Δm_k – масса элемента. Так как все Ф_k пропорциональны h_k , то эпюры этих параллельных сил инерции стержня образуют для части 1 треугольник, для части 2 – прямоугольник.

Каждую из полученных систем параллельных сил инерции стержня заменим ее равнодействующей, равной главному вектору этих сил. Так как модуль главного вектора сил инерции любого тела имеет значение Ф=ma_c, где m – масса тела, a_c – ускорение его центра масс, то для частей стержня соответственно получим

Ф₁=m₁a_c1; Ф₂=m₂a_c2 (2)

Сила инерции точечной массы 3 должна быть направлена в сторону, противоположную ее ускорению и численно будет равна

Ф₃=m₃a₃ (3)

Ускорения центров масс частей 1 и 2 стержня (точки С₁ и С₁) и груза 3 равны:

a_C1=ω²h_C1; a_C2=ω²h_C2; a₃=ω²h₃ (4)

h_C1=3bSin30^o=0.15м; h_C2=6bSin30^o=0.3м; h₃=5bSin60^o=0.43м; (5)

Подставив в (2) и (3) значения (4) и учтя (5) получим числовые значения Ф₁, Ф₁ и Ф₁:

Ф₁ = 0.6mω²h_C1 = 57.6 H; Ф₂ = 0.4mω²h_C4 = 76.8 H; Ф₃ = m₃ω²h₃ = 55.0 H; (6)

При этом линии действия равнодействующих Ф₁ и Ф₂ пройдут через центры тяжестей соответствующих эпюр сил инерции. Так, например, линия действия Ф₁ проходит на расстоянии 2/3 высоты треугольной эпюры сил инерции (если считать от точки Е).

3. Согласно принципу Даламбера, приложенные внешние силы (активные силы и силы реакций внешних связей), а также силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составим для этой системы сил уравнения равновесия. Для этой плоской системы сил мы запишем три уравнения равновесия: два уравнения для проекций сил и уравнение для моментов сил.

Подставим в уравнения равновесия соответствующие величины из (1), (5), (6), (8) и, решив эту систему, найдем искомые реакции:

X_A= -33.7H; Y_A=117.7H; R_D= -45.7H.

Знаки показывают, что реакции X_A и R_D направлены в сторону, противоположную показанному на рисунке.