Решение задач по теоретической механике — Динамика, уравнения Лагранжа для систем с двумя степенями свободы

Дано

Механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, находится под действием приложенных сил в равновесии; положение равновесия определяется углами α, β, γ, φ, θ. Кривошипы имеют длину: О₁А - 0.6 м, О₂D - 0.4 м. Точка Е находится в середине соответствующего стержня. На ползун В действует сила упругости пружины F; численно F = cλ, где с – коэффициент жесткости пружины, λ - ее деформация. Кроме того, на кривошип О₂D действует пара сил с моментом М₂, а на кривошип О₁А – пара сил с моментом М₁. Определить, чему равна при равновесии деформация λ пружины, и указать, растянута пружина или сжата. Данные для расчета: α=0^o, β=60^o, γ=30^o, φ=180^o, θ=120^o, с=100 H/м, М₁=320 Н•м, M₂=100 Н•м.

Решение

1. Изобразим механизм в положении равновесия в соответствии с заданными углами, а также внешние моменты M₁ и M₂. Пружину считаем сжатой и силу упругости пружины F в соответствии с этим предположением направим от пружины к ползуну В.

2. Зададим возможное перемещение δφ1 и выразим через него все остальные перемещения точек механизма:

Перемещение точки A, принадлежащей кривошипу O₁A и движущейся по окружности с центром в точке O₁, равно δ_sA= O₁A_δφ1. Аналогичную ситуацию имеем для точки D как точки, принадлежащей кривошипу O₂D: δ_sD= O₂D_δφ2. Перемещения точек A и D (как и их скорости) перпендикулярны соответствующим радиусам вращения O₁A и O₂D.

Точки A и D принадлежат стержню AD и для них выполняется теорема о проекциях: δ_SAcos30^o=δ_SDcos60^o.

Отсюда:

Точка P является мгновенным центром скоростей стержня AD (пересечение перпендикуляров к скоростям точек A и D). Из рисунка видно, что PA=AD·Cos60^o=AD/2 и треугольник APE — равносторонний. Перемещение точки E (как точки стержня AD) равно δ_SE=PEδφ_E=AD/2δφ_E. Элементарный поворот δφ_E=δ_SA/PA, отсюда δ_SE=0,6·φ₁·δψωφ.

Проекции перемещений точек B и E, принадлежащих стержню BE, на направление этого стержня в соответствии с теоремой о проекциях равны: δ_SEcos30^o=δ_SB. Тогда:

Согласно принципу возможных перемещений в положении равновесия системы должно выполняться соотношение:

M₁δφ₁-M₂δφ₂-Fδ_SB=0;

Здесь мы записали работу внешних моментов M₁ и M₂, а также работу силы упругости F сжатой пружины.

Подставим в последнее соотношение перемещения δφ₂ и δ_SB, выраженные через δφ₁, в результате будем иметь:

Мы получили положительное значение силы F, что означает, что пружина действительно сжата. Сила упругости пружины

В конечном итоге мы получили, что при равновесии системы деформация λ пружины равна 1.116 м и пружина находится в сжатом состоянии.