Пример решения задач по теоретической механике — Статика, расчет плоских ферм
Найти
К одному из узлов плоской фермы приложена сила P ̅. Определить реакции опор фермы (при помощи теоремы о равновесии трех непараллельных сил), а также усилия во всех её стержнях способов вырезания узлов. Вес стержней не учитывать. Результаты аналитического расчета проверить для каждого узла путем построения силового многоугольника.
Основываясь на полученных значениях усилий в стержнях, определить реакции опор фермы также и аналитическим способом.
Дано
рис. 1
Решение
рис. 2
Используя теорему о равновесии трех непараллельных сил, построим треугольник, находя пересечение силовых линий P,R_A,R_B. Для быстрого построения перенесём начала векторов следующим образом: начало вектора P в точку B, начало вектора RA в точку B, начало вектора RB в точку А.
Нарисуем полученный силовой треугольник.
рис.3
Как видно из рисунка 2 полученный силовой треугольник подобен треугольнику ABH.
Запишем уравнение подобия сторон.
AB:P=AH:RB=BH:RA
Примем сторону AB за a (мы можем принять любую сторону за произвольную переменную, важно найти лишь отношение сторон). Найдем AH и BH.
BH=2a
Если а = P, то
Проверим вычисления, составив уравнения равенства нулю проекций всех сил и моментов в точке B.
1. Проекция сил на ось OX равна нулю
2. Проекция сил на ось OY равна нулю
3. Суммарный момент равен нулю
(Выбор осей: ось “X” – направлена вправо, ось “Y” – направлена вверх, положительный момент против часовой стрелки.)
Из уравнения (1), подставляя известное из условия P, получим
XB=P=9кН
Из уравнения (3), подставляя известное из условия P, получим
YA=2P=18 кН
Из уравнения (2), подставляя найденное в уравнении (2) YA, получим
YB=-YA=-18 кН
Находим реакции, используя равенство треугольника между реакцией и её двумя проекциями.
Теперь применим метод вырезания узлов (равенство проекций всех сил в любом узле равно нулю). По очереди обойдем все узлы, следя, чтобы количество неизвестных в каждом не превышало 2.
Узел “C”
Из (c2)
R1=0
Подставляя найденное значение R1 в (c1) находим R2
R2=0
Узел “F”
Из (f2)
R11=0
Подставляя найденное значение R11 в (f1) находим R12
R12=0
Узел “H”
Упростим выражения, подставив известные значения.
Теперь из первого видно, что
R4=-P=-9кН
а из второго, что
R10=0
Узел “G”
Упростим выражения, подставив известные значения.
Решаем первое уравнение, находим R5
Подставляем найденное значение R5 во второе и находим R3.
Узел “E”
Упростим выражения, подставив известные значения.
Решаем первое уравнение, находим R3
R6=-9 кН
Решаем второе уравнение, находим R9
R9=9 кН
Узел “D”
Упростим выражения, подставив известные значения.
Решаем первое уравнение, находим R8
Подставляем найденное значение R8 во второе и находим R7.
R7=-9-12.75Sin45o=-18 кН
Узел “A”
В данном узле сил по оси X нет, так что останется всего одно уравнение - второе.
YA=-R7=18 кН
Узел “B”
Упростим выражения, подставив известные значения.
Решаем первое уравнение, находим XB
XB=9 кН
Решаем второе уравнение, находим YB
YB=-18 кН
Находим реакции, используя равенство треугольника между реакцией и её двумя проекциями.
Реакции опор, найденные всеми тремя методами решения, совпадают.
Выпишем все найденные усилия в стержнях в одной сводной таблице:
| № стержня | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Усилие в стержне, кН | 0 | 0 | -9 | -9 | 12,73 | -9 | -18 | 12,73 | 9 | 0 | 0 | 0 |
| Состояние стержня | - | - | сжат | сжат | растянут | сжат | сжат | растянут | растянут | - | - | - |
Силовые многоугольники.
Нулевые усилия в узлах не обозначены. Узлы, в которых все усилия нулевые (С и F) не нарисованы.
